Обязан ли работодатель по моей просьбе установить мне дополнительный выходной день в неделю по семейным обстоятельствам или в связи с плохим состоянием здоровья?

В данном случае работодатель не обязан, а вправе согласиться на просьбу работника об установлении неполной рабочей недели.

Правовое обоснование

Согласно ст. 93 ТК РФ по соглашению между работником и работодателем могут устанавливаться как при приеме на работу, так и впоследствии неполный рабочий день (смена) или неполная рабочая неделя. Работодатель обязан устанавливать неполный рабочий день (смену) или неполную рабочую неделю по просьбе беременной женщины, одного из родителей (опекуна, попечителя), имеющего ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет), а также лица, осуществляющего уход за больным членом семьи в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации.