Обязан ли работник осуществлять уход за выданными ему средствами индивидуальной защиты?

Нет, не обязан. Такая обязанность лежит на работодателе.

Правовое обоснование

В соответствии с п. 67 «Правил обеспечения работников средствами индивидуальной защиты и смывающими средствами» (утв. приказом Минтруда России от 29.10.2021 № 766н) работодатель обязан обеспечивать уход (обслуживание) за СИЗ, включая дежурные СИЗ, в том числе своевременную химчистку, стирку, дегазацию, дезактивацию, дезинфекцию, дезинсекцию, обезвреживание, обеспыливание, сушку, а также ремонт и замену СИЗ, утративших необходимые защитные свойства.