Может ли работник требовать от работодателя оформить увольнение по соглашению сторон, а не по собственному желанию?

Нет, не может. Работник вправе предложить работодателю расторгнуть трудовой договор по соглашению сторон, но если работодатель на это не согласен, по данному основанию договор расторгнуть нельзя.

Работник может написать заявление на увольнение по собственному желанию.

Правовое обоснование

На основании статьи 78 ТК РФ трудовой договор может быть в любое время расторгнут по соглашению сторон трудового договора.

Согласно статье 80 Трудового кодекса РФ (ТК РФ) работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен Кодексом или иным федеральным законом.