Работник написал заявление об увольнении, двухнедельный срок истек, замену не нашли: работодатель вправе его удерживать?

Нет, работодатель не вправе удерживать Вас. С Вами должны прекратить трудовой договор, выдать трудовую книжку или предоставить сведения о трудовой деятельности (статья 66.1 ТК РФ) у данного работодателя, произвести полный расчет.

Правовое обоснование

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен ТК РФ или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении (ч. 1 ст. 80 ТК РФ).

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении (ч. 2 ст. 80 ТК РФ).

До истечения срока предупреждения об увольнении работник имеет право в любое время отозвать свое заявление. Увольнение в этом случае не производится, если на его место не приглашен в письменной форме другой работник, которому в соответствии с ТК РФ и иными федеральными законами не может быть отказано в заключении трудового договора (ч. 4 ст. 80 ТК РФ).

По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку или предоставить сведения о трудовой деятельности (статья 66.1 ТК РФ) у данного работодателя, выдать другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет (ч. 5 ст. 80 ТК РФ).

Прекращение трудового договора оформляется приказом (распоряжением) работодателя (ч. 1 ст. 84.1 ТК РФ).