Если работник решил сохранить бумажную трудовую книжку, а потом поменял работу, нужно ли ему писать новому работодателю еще одно заявление о сохранении трудовой книжки?

Нет, не нужно.

Правовое обоснование

Согласно п.4 ст. 2 Федерального закона от 16.12.2019 № 439-ФЗ «О внесении изменений в Трудовой кодекс Российской Федерации в части формирования сведений о трудовой деятельности в электронном виде» за работником, воспользовавшимся своим правом на дальнейшее ведение работодателем трудовой книжки в соответствии со статьей 66 Трудового кодекса Российской Федерации, это право сохраняется при последующем трудоустройстве к другим работодателям.