Обязан ли работник отрабатывать часы, проведенные в суде по повестке?

Нет, не обязаны. На время участия в суде работник освобождается от работы и за ним сохраняется место работы (должность).

Правовое обоснование

В соответствии со ст. 170 ТК РФ работодатель обязан освобождать работника от работы с сохранением за ним места работы (должности) на время исполнения им государственных или общественных обязанностей в случаях, если в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами эти обязанности должны исполняться в рабочее время.

Государственный орган или общественное объединение, которые привлекли работника к исполнению государственных или общественных обязанностей, в случаях, предусмотренных частью первой настоящей статьи, выплачивают работнику за время исполнения этих обязанностей компенсацию в размере, определенном настоящим Кодексом, другими федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации либо решением соответствующего общественного объединения.